ΤΕΙ Πειραιά - Μηχανολόγοι 11 Φεβρουαρίου 2013

Παρακαλώ αν χρησιμοποιήσετε το υλικό μας ενισχύστε την εικόνα μας στα social media.
Θέματα - Λύσεις

Εισηγητής θεμάτων: Β. Ν. Κατσίκης Λύσεις: Δ. Παναγόπουλος

Θέμα 1
    Δίνεται ο παρακάτω πίνακας: \[ Α=\left[ \begin{array}{ccc} 10 & 2 & 0 \\ 3 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right]\]
  1. Να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα Α.
  2. Είναι ο πίνκας Α αντιστρέψιμος; Αιτιολογήστε.
  3. Να εξετάσετε αν ο πίνακας \(ΑΑ^Τ\) αντιστρέφεται.

Λύση
  1. Έχουμε \[|Α|=\left| \begin{array}{ccc} 10 & 2 & 0 \\ 3 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right|=10\left| \begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} \right|-2\left| \begin{array}{ccc} 3 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} \right|=10\cdot 5-2\cdot 0=50\]
  2. Ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος γιατί η ορίζουσά του είναι διάφορη του μμηδενός.
  3. Έχουμε \[|ΑΑ^Τ|=|Α|\cdot|A^T|=|A|\cdot|A|=|A|^2=2500\] Συνεπώς, ο πίνακας \(ΑΑ^Τ\) είναι αντιστρέψιμος γιατί η ορίζουσά του είναι διάφορη του μμηδενός.

Θέμα 2
    Δίνεται ο παρακάτω πίνακας: \[ Α=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 1 & 3 \end{array} \right]\]
  1. Να υπολογίσετε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α.
  2. Να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α.

Λύση
  1. Έχουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι το: \[|Α-xI|=\left| \begin{array}{cc} 2-x & 0\\ 1 & 3-x \end{array} \right|=(2-x)(3-x)=x^2-5x+6\]
  2. Έχουμε \[|A-xI|=0\Leftrightarrow (2-x)(3-x)=0\Leftrightarrow x=2 \mbox{ ή }x=3\] Άρα οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι οι \(x=2,x=3\).
    Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή \(x=2\) λύνουμε το σύστημα: \[(Α-2Ι)Χ=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{array} \right]\cdot\left[ \begin{array}{cc} x\\ y \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{cc} 0 \\ 0 \end{array} \right]\Leftrightarrow\] \[\left.\begin{aligned} 0x +0y &= 0 \\ x + y &= 0 \end{aligned}\right\}\Leftrightarrow y=-x,x\in\mathbb{R}\] Άρα τα ιδιοδιανύσματα είναι τα \((x,-x)=x(1,-1),x\in\mathbb{R}\).
    Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή \(x=3\) λύνουμε το σύστημα: \[(Α-3Ι)Χ=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{cc} -1 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \right]\cdot\left[ \begin{array}{cc} x\\ y \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{cc} 0 \\ 0 \end{array} \right]\Leftrightarrow\] \[\left.\begin{aligned} -x +0y &= 0 \\ x + 0y &= 0 \end{aligned}\right\}\Leftrightarrow x=0,y\in\mathbb{R}\] Άρα τα ιδιοδιανύσματα είναι τα \((0,y)=y(0,1),y\in\mathbb{R}\).

Θέμα 3
    Να υπολογίσετε τα ακόλουθα ολοκληρώματα:
  1. \(\int\frac{x+3}{3x+2}dx\).
  2. \(\int\frac{2}{4x^2-1}dx\).

Λύση
  1. Έχουμε: \[\int\frac{x+3}{3x+2}dx=\int\frac{\frac{1}{3}(3x+2)+\frac{7}{3}}{3x+2}dx=\] \[\int\frac{1}{3}dx+\frac{7}{3}\int\frac{1}{3x+2}dx=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\frac{1}{3}ln(3x+2)+c==\frac{1}{3}x+\frac{7}{9}ln(3x+2)+c,c\in\mathbb{R}\]
  2. Έχουμε: \[\int\frac{2}{4x^2-1}dx=\int\frac{2}{(2x-1)(2x+1)}dx=-\int\frac{1}{2x-1}dx+\int\frac{1}{2x+1}dx=-\frac{1}{2}ln(2x+1)+\frac{1}{2}ln(2x-1)+c,c\in\mathbb{R}\]

Θέμα 4
  1. Να υπολογίσετε το γενικευμένο ολοκληρώμα \(\int_0^{+\infty}xe^{-3x}dx\).
    1. Να γράψετε σε εκθετική μορφή το μιγαδικό αριθμό \(z=4\sqrt{3}+4i\).
    2. Να γράψετε σε καρτεσιανή μορφή τον μιγαδικό αριθμό \(ln(4\sqrt{3}+4i)\)

Λύση
  1. Έχουμε: \[\int_0^{+\infty}xe^{-3x}dx=\int_0^{+\infty}x\left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right)'dx=\] \[\left[-\frac{xe^{-3x}}{3}\right]_0^{+\infty}+\frac{1}{3}\int_0^{+\infty}(x)'e^{-3x}dx=\] \[0e^0-\lim_{k\rightarrow +\infty}ke^{-3k}+\frac{1}{3}\int_0^{+\infty}e^{-3x}dx=0-0+\left[\frac{e^{-3x}}{3}\right]_0^{+\infty}=\] \[e^0-\lim_{k\rightarrow +\infty}e^{-3k}=1-0\] όπου \(\lim_{k\rightarrow +\infty}ke^{-3k}=\lim_{k\rightarrow +\infty}\frac{k}{e^{3k}}=\lim_{k\rightarrow +\infty}\frac{1}{3e^{3k}}=0\) από Θ. De l' Hospital.
    1. Είναι \[|z|=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{16\cdot 3+16}=\sqrt{4\cdot 16}=2\cdot4=8\] \[tan\theta=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3}\] Συνεπώς, \[z=8e^{\frac{\pi}{3}i}\]
    2. Από πριν \[|4\sqrt{3}+4i|=8, \theta=\frac{\pi}{3}\] άρα, \[ln(4\sqrt{3}+4i)=ln8+\frac{\pi}{3}i\]

Αν ενδιαφέρεστε για πανεπιστημιακά ιδιαίτερα, μπορείτε να επικοινωνήσετε μαζί μας για να σας κάνουμε ειδική προσφορά.

low prices guarantee

MHN ΞΕΧΝΑΤΕ! Εγγυώμαστε τη χαμηλότερη τιμή. Αν βρείτε κάποια μικρότερη από εμάς θα αναπροσαρμόσουμε αντίστοιχα τη δική μας.