Εισηγητής θεμάτων: Β. Ν. Κατσίκης Λύσεις: Δ. Παναγόπουλος
Θέμα 1
Δίνεται ο παρακάτω πίνακας:
\[ Α=\left[ \begin{array}{ccc}
10 & 2 & 0 \\
3 & 5 & 3 \\
1 & 0 & 1 \end{array} \right]\]
- Να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα Α.
- Είναι ο πίνκας Α αντιστρέψιμος; Αιτιολογήστε.
- Να εξετάσετε αν ο πίνακας \(ΑΑ^Τ\) αντιστρέφεται.
Λύση
- Έχουμε
\[|Α|=\left| \begin{array}{ccc}
10 & 2 & 0 \\
3 & 5 & 3 \\
1 & 0 & 1 \end{array} \right|=10\left| \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
0 & 1 \end{array} \right|-2\left| \begin{array}{ccc}
3 & 3 \\
1 & 1 \end{array} \right|=10\cdot 5-2\cdot 0=50\]
- Ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος γιατί η ορίζουσά του είναι διάφορη του μμηδενός.
- Έχουμε
\[|ΑΑ^Τ|=|Α|\cdot|A^T|=|A|\cdot|A|=|A|^2=2500\]
Συνεπώς, ο πίνακας \(ΑΑ^Τ\) είναι αντιστρέψιμος γιατί η ορίζουσά του είναι διάφορη του μμηδενός.
Θέμα 2
Δίνεται ο παρακάτω πίνακας:
\[ Α=\left[ \begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 3 \end{array} \right]\]
- Να υπολογίσετε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α.
- Να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α.
Λύση
- Έχουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι το:
\[|Α-xI|=\left| \begin{array}{cc}
2-x & 0\\
1 & 3-x \end{array} \right|=(2-x)(3-x)=x^2-5x+6\]
- Έχουμε
\[|A-xI|=0\Leftrightarrow (2-x)(3-x)=0\Leftrightarrow x=2 \mbox{ ή }x=3\]
Άρα οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι οι \(x=2,x=3\).
Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή \(x=2\) λύνουμε το σύστημα:
\[(Α-2Ι)Χ=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 1 \end{array} \right]\cdot\left[ \begin{array}{cc}
x\\
y \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{cc}
0 \\
0 \end{array} \right]\Leftrightarrow\]
\[\left.\begin{aligned}
0x +0y &= 0 \\
x + y &= 0 \end{aligned}\right\}\Leftrightarrow y=-x,x\in\mathbb{R}\]
Άρα τα ιδιοδιανύσματα είναι τα \((x,-x)=x(1,-1),x\in\mathbb{R}\).
Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή \(x=3\) λύνουμε το σύστημα:
\[(Α-3Ι)Χ=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 0\\
1 & 0 \end{array} \right]\cdot\left[ \begin{array}{cc}
x\\
y \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{cc}
0 \\
0 \end{array} \right]\Leftrightarrow\]
\[\left.\begin{aligned}
-x +0y &= 0 \\
x + 0y &= 0 \end{aligned}\right\}\Leftrightarrow x=0,y\in\mathbb{R}\]
Άρα τα ιδιοδιανύσματα είναι τα \((0,y)=y(0,1),y\in\mathbb{R}\).
Θέμα 3
Να υπολογίσετε τα ακόλουθα ολοκληρώματα:
- \(\int\frac{x+3}{3x+2}dx\).
- \(\int\frac{2}{4x^2-1}dx\).
Λύση
- Έχουμε:
\[\int\frac{x+3}{3x+2}dx=\int\frac{\frac{1}{3}(3x+2)+\frac{7}{3}}{3x+2}dx=\]
\[\int\frac{1}{3}dx+\frac{7}{3}\int\frac{1}{3x+2}dx=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\frac{1}{3}ln(3x+2)+c==\frac{1}{3}x+\frac{7}{9}ln(3x+2)+c,c\in\mathbb{R}\]
- Έχουμε:
\[\int\frac{2}{4x^2-1}dx=\int\frac{2}{(2x-1)(2x+1)}dx=-\int\frac{1}{2x-1}dx+\int\frac{1}{2x+1}dx=-\frac{1}{2}ln(2x+1)+\frac{1}{2}ln(2x-1)+c,c\in\mathbb{R}\]
Θέμα 4
- Να υπολογίσετε το γενικευμένο ολοκληρώμα \(\int_0^{+\infty}xe^{-3x}dx\).
-
- Να γράψετε σε εκθετική μορφή το μιγαδικό αριθμό \(z=4\sqrt{3}+4i\).
- Να γράψετε σε καρτεσιανή μορφή τον μιγαδικό αριθμό \(ln(4\sqrt{3}+4i)\)
Λύση
- Έχουμε:
\[\int_0^{+\infty}xe^{-3x}dx=\int_0^{+\infty}x\left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right)'dx=\]
\[\left[-\frac{xe^{-3x}}{3}\right]_0^{+\infty}+\frac{1}{3}\int_0^{+\infty}(x)'e^{-3x}dx=\]
\[0e^0-\lim_{k\rightarrow +\infty}ke^{-3k}+\frac{1}{3}\int_0^{+\infty}e^{-3x}dx=0-0+\left[\frac{e^{-3x}}{3}\right]_0^{+\infty}=\]
\[e^0-\lim_{k\rightarrow +\infty}e^{-3k}=1-0\]
όπου \(\lim_{k\rightarrow +\infty}ke^{-3k}=\lim_{k\rightarrow +\infty}\frac{k}{e^{3k}}=\lim_{k\rightarrow +\infty}\frac{1}{3e^{3k}}=0\) από Θ. De l' Hospital.
-
- Είναι
\[|z|=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{16\cdot 3+16}=\sqrt{4\cdot 16}=2\cdot4=8\]
\[tan\theta=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3}\]
Συνεπώς,
\[z=8e^{\frac{\pi}{3}i}\]
- Από πριν
\[|4\sqrt{3}+4i|=8, \theta=\frac{\pi}{3}\]
άρα,
\[ln(4\sqrt{3}+4i)=ln8+\frac{\pi}{3}i\]
Αν ενδιαφέρεστε για πανεπιστημιακά ιδιαίτερα, μπορείτε να επικοινωνήσετε μαζί μας για να σας κάνουμε ειδική προσφορά.
![low prices guarantee](../low_prices_logo.png)
MHN ΞΕΧΝΑΤΕ! Εγγυώμαστε τη χαμηλότερη τιμή. Αν βρείτε κάποια μικρότερη από εμάς θα αναπροσαρμόσουμε αντίστοιχα τη δική μας.